Egybevágó tetraéderek optimális térbeli pakolásairól és fedéseiről

István Talata

doi:10.20312/dim.2024.01

Szerzők

István Talata Budapesti Gazdasági Egyetem, Külkereskedelmi Kar, Társadalomtudományi Módszertan https://orcid.org/0000-0003-0652-0464

DOI:

https://doi.org/10.20312/dim.2024.01

Kulcsszavak:

parkettázás, pakolás, fedés, szélsőértékfeladat, sűrűségkorlát, tetraéder, tiling, packing, covering, extremum problem, density bound, tetrahedron

Absztrakt

ÖSSZEFOGLALÓ — Azt vizsgáljuk, hogy adott T tetraéder esetén van-e a T-vel egybevágó tetraédereknek olyan elrendezése a 3-dimenziós térben, amely lefedi a teret átfedések nélkül. Ha pedig nincs ilyen elrendezés, akkor mekkora lehet a T-vel egybevágó tetraéderek alkotta pakolások maximális sűrűsége, ill. mekkora lehet a T-vel egybevágó tetraéderek alkotta fedések minimális sűrűsége? Az utóbbi 15-20 évben jelentős előrehaladás történt ezen kérdések megválaszolásában. Összefoglaljuk e három probléma megoldásával kapcsolatos aktuális eredményeket, és a pakolási, ill. fedési problémára új alsó, ill. felső korlátot adunk tetraédereknek egy speciális osztálya esetén.

ABSTRACT — On optimal packings and coverings of congruent tetrahedra | We consider the problem that for a given tetrahedron T, whether there exists an arrangement of tetrahedra congruent with T that fills the space without overlapping. If there is no such arrangement, then what is the maximum density of packings formed by tetrahedra congruent with T, or what is the minimum density of coverings formed by tetrahedra congruent with T? In the last 15-20 years, significant progress has been made to answer these questions. We summarize the current results related to the solution of these three problems, and we give a new lower and upper bound, respectively, for the packing and covering problem, for a special class of tetrahedra.

Hivatkozások

Chen, E. R., Engel, M., Glotzer, S. C., Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra, Discrete Comput. Geom. 44 (2010), no 2, 253–280. arXiv:1001.0586. doi: 10.1007/s00454-010-9273-0

Chentouf, A. A., Sun Y., Dehn invariant zero tetrahedra, arXiv preprint, arXiv:2312.01282, (2023), 1-11. doi: 10.48550/arXiv.2312.01282

Chentouf, A. A., Sun Y., Tetrahedra tiling problem, arXiv preprint, arXiv: 2312.01654, (2023), 1-9. doi: 10.48550/arXiv.2312.01654

Conway, J. H., Jones, A. J., Trigonometric Diophantine equations (On vanishing sums of roots of unity), Acta Arith. 30 (1976), no. 3, 229–240. doi: 10.4064/aa-30-3-229-240

Conway, J. H., Torquato, S., Packing, tiling, and covering with tetrahedra, Proceedings of the National Academy of Sciences 103 (2006), no 28, 10612–10617. doi: 10.1073/pnas.0601389103

Coxeter, H.S.M., A geometriák alapjai, Typotex (2012), 472 pp.

Hoylman, D. J., The densest lattice packing of tetrahedra, Bulletin of the American Mathematical Society. 76 (1970), 135–138. doi: 10.1090/S0002-9904-1970-12400-4

Kallus, Y.; Elser, V.; Gravel, S., Dense Periodic Packings of Tetrahedra with Small Repeating Units, Discrete Comput. Geometry. 44 (2010), no 2, 245–252. arXiv:0910.5226. doi: 10.1007/s00454-010-9254-3

Kedlaya, K. S., Kolpakov, A., Poonen, B., Rubinstein, M., Space vectors forming rational angles. arXiv preprint, arXiv:2011.14232 (2020), 1-30. doi: 10.48550/arXiv.2011.14232

Torquato, S.; Jiao, Y.,. Analytical Constructions of a Family of Dense Tetrahedron Packings and the Role of Symmetry. arXiv preprint, arXiv:0912.4210 (2009), 1-30. doi: 10.48550/arXiv.0912.4210

Talata, I., A Boerdijk-Coxeter tetrahélixről és általánosításairól, Dimenziók 11 (2023), 3-10.

Tetrahedron packing, Wikipedia, URL https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron_packing